вспомним теорвер

Пусть ξ - случайная величина

ξ[ω], ω ∈ Ω;
If U ∈ G then P[U] is defined;

G - σ - алгебра

{ω ∈ Φ: ξ[ο]<x}∈G - измеримость функции ξ(иначе трудно будет что-либо сделать)
Такие множества уже перемекаются, объединяются и т.д.
P[Ω]=1;
E[ξ]=(∫_Ω)ξ[ω]dP[ω] - матожидание

Пример: E[g[ξ]] = (∫_Ω)g[ξ[ω]]dP[ω](Overscript[=, ?])(∫_R)g[r]d(Subscript[P, ξ])[r] (* мера порождается случайной величиной *) = (∫_R)g[r](Subscript[p, ξ])[r] (*плотность*)

ξ : Ω -> R; g : R -> R;

Пусть B⊂R; B ∈ BarrelSets[R];
(Subscript[P, ξ])[B]=P[ω ∈ Ω:ξ[w]∈B] - функций распределения (Subscript[F, ξ])[u]

Случайные векторы: ξ={(Subscript[ξ, 1]),…,(Subscript[ξ, n])}={(Subscript[ξ, 1])[ω],…,(Subscript[ξ, n])[ω]}

Пусть есть g[(Subscript[u, 1]),…,(Subscript[u, n])]. 
E[g[(Subscript[ξ, 1]),…,(Subscript[ξ, n])]]=(∫_Ω)g[(Subscript[ξ, 1])[ω],…,(Subscript[ξ, n])[ω]]d(Subscript[P, (Subscript[ξ, 1]),…,(Subscript[ξ, n])])[(Subscript[u, 1]),…,(Subscript[u, n])] (*распределение случайного вектора*)=(∫_Ω)g[(Subscript[ξ, 1])[ω],…,(Subscript[ξ, n])[ω]](Subscript[p, (Subscript[ξ, 1]),…,(Subscript[ξ, n])])[(Subscript[u, 1]),…,(Subscript[u, n])]d(Subscript[u, 1])…d(Subscript[u, n])

{(Subscript[ξ, 1]),…,(Subscript[ξ, n])}:ω->(Subscript[R, n])

P[{ω∈Ω:{(Subscript[ξ, 1])[ω],…,(Subscript[ξ, n])[ω]}∈B}]=(Subscript[F, (Subscript[ξ, 1]),…,(Subscript[ξ, n])])[(Subscript[u, 1]),…,(Subscript[u, n])]

E[(Subscript[g, 1])[(Subscript[ξ, 1])](Subscript[g, 2])[(Subscript[ξ, 2])]]=E[(Subscript[g, 1])[(Subscript[ξ, 1])]]*E[(Subscript[g, 2])[(Subscript[ξ, 2])]] - независимость случайных величин

Непрерывные случайные процессы
(Subscript[X, t])=(Subscript[X, t])[ω]=X[t,ω]=X[t] - разные записи; ω∈Ω; t∈[0,T]; 
измеримость: {ω∈Ω:(Subscript[X, t])[ω]<u}∈G ∀t
E[g[(Subscript[X, (Subscript[t, 1])]),…,(Subscript[X, (Subscript[t, n])])]]=(∫_Ω)g[(Subscript[X, (Subscript[t, 1])])[ω],…,(Subscript[X, (Subscript[t, n])])[ω]]dP[ω]=(∫_(R^n))g[(Subscript[u, 1]),…,(Subscript[u, n])]d(Subscript[P, (Subscript[X, (Subscript[t, 1])]),…,(Subscript[X, (Subscript[t, n])])])[(Subscript[u, 1]),…,(Subscript[u, n])]

(Subscript[P, (Subscript[X, (Subscript[t, 1])]),…,(Subscript[X, (Subscript[t, n])])])=(Subscript[P, (Subscript[t, 1]),…,(Subscript[t, n])]); P[{ω∈Ω:{(Subscript[X, (Subscript[t, 1])])[ω],…,(Subscript[X, (Subscript[t, n])])[ω]}<{(Subscript[u, 1]),…,(Subscript[u, n])}(*поэлементно*)}]=(Subscript[F, (Subscript[t, 1]),…,(Subscript[t, n])])[(Subscript[u, 1]),…,(Subscript[u, n])]

(∫_0^T)(Subscript[X, s])[ω]ds(*зависит от всего промежутка времени*)=(∑_(k=1)^N)(Subscript[X, (Subscript[s, k])])[ω](Subscript[Δs, k])

Стохастический интеграл по Виннеровскому процессу
виннеровский процесс
(Subscript[W, t]);t∈[0,T];
E[(Subscript[W, t])]=(∫_Ω)(Subscript[w, t])[ω]dP[ω]=(∫_R)ud(Subscript[F, (Subscript[W, t])])[u]=(∫_R)u ((((Subscript[p, t])[u])/(==(1/(Sqrt[2π t]))Exp[-((u^2)/(2 t))])))du==…=0;

E[(Subscript[W, t])(Subscript[W, s])]=(∫_Ω)(Subscript[w, t])[ω](Subscript[w, s])[ω]dP[ω]=(∫_R)(Subscript[u, 1])(Subscript[u, 2])d(Subscript[F, (Subscript[W, t])(Subscript[W, s])])[(Subscript[u, 1,])(Subscript[u, 2])]==(*
t>s; совместная плотность:
(Subscript[p, t,s])[(Subscript[u, 1]),(Subscript[u, 2])]=(1/(Sqrt[(((2π))^2)s(t-s)]))Exp[-(1/2)((((Subscript[u, 1])^2)/s)+(((((Subscript[u, 2])-(Subscript[u, 1])))^2)/(t-s))]]
*)==min[t,s] - корелляционная функция виннеровского случайного процесса

Свойства виннеровского процесса: 1. все траектории непрерывны, 2. полностью определяется корелляцией,3. например,(*s<t*)E[(Subscript[W, s])[(Subscript[W, t])-(Subscript[W, s])]]=(∫_(R^2))(Subscript[u, 1])((Subscript[u, 2])-u1)(Subscript[p, s,t])[…]d(Subscript[u, 1])d(Subscript[u, 2])=… (*распадается на два интеграла*)=E[(Subscript[W, s])(Subscript[W, t])]-E[((Subscript[W, s])^2)]=s-s=0
Процесс с независимыми приращениями.

Есть два типа формул, связанных с виннеровскими процессами
E[Exp[λ (Subscript[W, t])]] вычисляется и используется.

E[Exp[λ (Subscript[W, t])]]=∫Exp[λ u](1/(Sqrt[2 π t]))Exp[- ((u^2)/(2 t))]du=…

∫Exp[λ u](1/(Sqrt[2 π t]))Exp[- ((u^2)/(2 t))]du

((d^(2n))/((dλ)^(2n))) E[Exp[λ (Subscript[W, t])]]/.λ->0=((d^(2n))/((dλ)^(2n)))Exp[((λ^2)/2)t]

E[((Subscript[W, t])^(2 n))]=(t^n)C.......(2n-1)!!...............

В случае случайных процессов одной сигма-алебры мало. 
Рассматривается семейство сигма-алгебр {(Subscript[F, t])}; t∈[0,T].

(Subscript[F, t])Это должна быть такая сигма-алгебра, которая включает в себя {ω∈Ω:{(Subscript[X, (Subscript[t, 1])])[ω],…,(Subscript[X, (Subscript[t, n])])[ω]}∈B}для всех (Subscript[t, i])<t. Значения процессов до момента (Subscript[t, 1,])потом до (Subscript[t, 2]). Поток сигма-алгебр.

{ξ[ω]<u}∈(Subscript[F, t]) - случайная величина зависит от процесса только до момента t.

Условное матожидание
Пусть есть случайная величина ξ[ω] в сигма-алгебре G.
Пусть есть (Subscript[G, 1])⊂G и в ней η[ω]

Измерима ли ξ в (Subscript[G, 1])? Не обязательно. А η[ω] измерима в G.

Если E[η f]=E[ξ f] для любой f в (Subscript[G, 1])измеримой, то η называется условным ожиданием
E[E[ξ|(Subscript[G, 1])]f]=E[ξ f].

E[ξ|η]=E[ξ|(Subscript[G, η])]

Свойства условного матожидания

(*Если η измерима относительно (Subscript[G, 1])*)E[η ξ|(Subscript[G, 1])]=η E[ξ|(Subscript[G, 1])]

Стохастический интеграл Ито

Если интеграл (∫_0^T)f[t]g[t]dt, то мы уже знаем свойства.

Если интеграл (∫_0^T)f[t]dg[t] - интеграл Стильтьесса: ∑f[(Subscript[t, k])](g[(Subscript[t, k+1])]-g[(Subscript[t, k])])

Если интеграл (∫_0^T)f[t]d(Subscript[W, t])[ω], то интеграл Стильтьесса не подходит, потому что (Subscript[W, t])[ω] имеет неограниченную вариацию, поэтому используется другой интеграл.
(*ω∈Ω; F - sigma alg.; {(Subscript[F, t])} - set of sigma alg.*)

I[f]=(∫_0^T)f[t,ω]d(Subscript[W, t])[ω]; - ещё случайнее - функций f зависит от ω.

Требования: E[(∫_0^T)(((f[t,ω]))^2)dt]<∞; f[t,ω] измерима в (Subscript[F, t]). Такие функции называются адаптированными.

Сначала определим интеграл для ступенчатых функций.

Простая функция: (Subscript[f, n])[t,ω]=(∑_(i=0)^n)(Subscript[η, i])[ω](Subscript[1, полуинтервал[(Subscript[t, i]),(Subscript[t, i-1])]])[t];

I[(Subscript[f, n])[t,ω]]=(∑_(k=1)^n)(Subscript[η, k])[ω]((Subscript[W, (Subscript[t, k+1])])-(Subscript[W, (Subscript[t, k])]))

Такими функциями аппроксимируются адаптируемые функции.

Последовательность функций (Subscript[f, n])задаётся так, чтобы
E[(∫_0^T)(((f[t,ω]-(Subscript[f, n])[t,ω]))^2)dt]->0

I[(Subscript[f, n])]=(∑_(i=0)^n)(Subscript[η, i])[ω]((Subscript[W, (Subscript[t, i+1])])-(Subscript[W, (Subscript[t, i])]))

Свойства: аддитивность, интеграл суммы функций, ...
Свойство изометричности: если есть два стохастических интеграла: I[f] и I[g], то E[I[f]I[g]]=E[(∫_0^T)f[t,ω]g[t,ω]dt] (* W пропало*)

(Subscript[(η,ξ), (Subscript[L, 2])])=E[η ξ]; E[I[f]I[g]]=E[(∫_0^T)f[t,ω]d(Subscript[W, t])(∫_0^T)g[t,ω]d(Subscript[W, t])]

Ещё важное свойство: E[I[f]]=0. Так как (∑_(i=0)^n)E[(Subscript[η, i])[ω]((Subscript[W, (Subscript[i, t+1])])-(Subscript[W, (Subscript[t, i])]))]=(*(Subscript[W, (Subscript[i, t+1 ])])не зависит от того, что после (Subscript[W, (Subscript[t, i])])*)=(∑_(i=0)^n)E[(Subscript[η, i])[ω]]E[((Subscript[W, (Subscript[i, t+1])])-(Subscript[W, (Subscript[t, i])]))]=0

Note: d(Subscript[W, t])-белый шум, то, что обычно ошибки измерений. Но писать (∫_0^T)f[t]белыйШум[t]dt нельзя, так как белый шум математически не определяется.

Например, ДУ: ((d u[t])/dt)==f[u[t]]+g[t](d/dt)W[t] нужно проинтегрировать:
u[t]=u[(Subscript[t, 0])]+(∫_0^t)g[s]dW[s]

Основная хитрость: когда мы рассматриваем, например, суммы (∑_(k=0)^n)f[(Subscript[t, k])](((Δt))^2)==0.

Здесь же если мы составляем суммы ∑f[(Subscript[t, k]),ω](Subscript[Δt, k])->(∫_0^T)f[t,ω]dt, а ∑f[(Subscript[t, k]),ω]((((Subscript[Δt, k])))^2)==0;

Но вот если мы возьмём (∑_(i=0)^n)f[(Subscript[t, (Subscript[t, k])])]((((Subscript[W, (Subscript[t, i+1])])-(Subscript[W, (Subscript[t, i])])))^2)->E[(∫_0^T)f[t,ω]dt] - не исчезает. Степени больше 2 всё равно исчезают.

Квадратичная вариация виннеровского (Subscript[процесса [W], t])=Limit[n->∞,(∑_(n=1)^n)((((Subscript[W, (Subscript[t, k+1])])-(Subscript[W, (Subscript[t, k])])))^2)]=t (*конечная и детерменированная величина. Ею он определяется однозначно. *)

Сразу введём более широкий класс процессов - процессы Ито:
(Subscript[X, t])=(Subscript[X, 0])+(∫_0^t)u[s,ω]ds+(∫_0^t)v[s,ω]d(Subscript[W, s])[ω];

Пусть есть функция:g[t,(Subscript[X, t])] - дифференцируемая по обоим аргументам (как если бы было g[t,x∈R])

Тогда найдутся такие функции (Subscript[u, 1])и (Subscript[v, 1]),что g[t,(Subscript[X, t])]=(Subscript[X, 1])+(∫_0^t)(Subscript[u, 1])[s,ω]ds+(∫_0^t)(Subscript[v, 1])[s,ω]d(Subscript[W, s])[ω];

(Subscript[Y, t])=g[t,(Subscript[X, t])]=g[0,(Subscript[X, 0])]+(∫_0^t)((Subscript[g, 1]^('))[s,(Subscript[X, x])]+u[s](Subscript[g, 2]^('))[s,(Subscript[X, s])]+(1/2)(((v[s]))^2)(Subscript[(Subscript[g, 2]^(')), 2]^('))[s,(Subscript[X, s ])])ds+(∫_0^t)v[s](Subscript[g, 2]^('))[s,(Subscript[X, s])]d(Subscript[W, s])

((Subscript[X, 0]),v[s], u[s] - это наши (Subscript[X, 1]),(Subscript[v, 1])[s,ω], (Subscript[u, 1])[s,ω] )

d(Subscript[Y, t])=g'[t,(Subscript[X, t])]dt+g'[t,(Subscript[X, t])]d(Subscript[X, t])+g''[t,(Subscript[W, t])]((((d(Subscript[W, t])))^2)/(== dt))

Проинтегрируем, подставим вместо (Subscript[X, t])ту штуку.

Это аналог функции дифференциалов для обычного интеграла. 
Более сложный вид из-за того,что (((d(Subscript[W, t])))^2)≠0.

Пусть есть вектор виннеровских процессов: (Subscript[W, t])={(Subscript[W, 1])[t],…,(Subscript[W, m])[t]}

X[t]=(({{(Subscript[X, 1])[t]}, {…}, {(Subscript[X, n])[t]}})); V=(({{(Subscript[v, 1,1]), …, (Subscript[v, 1,m])}, {…, …, …}, {(Subscript[v, n,1]), …, (Subscript[v, n,m])}}));

d(Subscript[X, i])=(Subscript[u, i])dt+(∑_(j=1)^n)(Subscript[v, i,j])d(Subscript[W, j])

Пример: (Subscript[X, t])=(Subscript[W, t]); Его характеристики: (Subscript[X, 0])=0; u[s]=0, v[s]=1.

Рассмотрим функцию g[t,x]=(1/(n+1))(x^(n+1));

g[t,(Subscript[X, t])]=(1/(n+1))((Subscript[W, t])^(n+1))=((g[0,(Subscript[W, 0])])/(==0))+(∫_0^t)0+0+(1/2)n ((Subscript[W, s])^(n-1))ds+(∫_0^t)1*....?

Вывод:(∫_0^t)((Subscript[W, s])^n)d(Subscript[W, t])=(1/(n+1))((Subscript[W, t])^(n+1))-(n/2)∫((Subscript[W, s])^(n-1))ds

(∫_0^t)sd(Subscript[W, s])=t (Subscript[W, t])-(∫_0^t)(Subscript[W, s])ds

Ещё пример:(Subscript[X, t])=(Subscript[W, t]); g[t,x]=Exp[x];

g[t,(Subscript[W, t])]=Exp[(Subscript[W, t])]=((g[0,(Subscript[W, 0])])/(==1))+(1/2)(∫_0^t)1*Exp[(Subscript[W, s])]ds+(∫_0^t)Exp[(Subscript[W, s])]d(Subscript[W, s])

строгая запись: (Subscript[Y, t])=1+(1/2)(∫_0^t)(Subscript[Y, s])ds+(∫_0^t)(Subscript[Y, s])d(Subscript[W, s]); 
обычная запись: d(Subscript[Y, t])=(1/2)(Subscript[Y, t])+(Subscript[Y, t])d(Subscript[W, t]);
ещё запись:(Subscript[Y, y])'=(1/2)(Subscript[Y, t])+(Subscript[Y, y])((d(Subscript[W, t]))/(dt))

Вид уравнений, теория которых хорого изучена:
(Subscript[X, t])=(Subscript[Z, t])+(∫_0^t)b[s,(Subscript[X, s])]ds+(∫_0^t)σ[s,(Subscript[X, s])]d(Subscript[W, s])

Требования :
 Abs[b[t, s]] + Abs[σ[t, s]] < C*(1 + Abs[x])
Abs[b[t, x] - b[t, y]] + Abs[σ[t, x] - σ[t, y]] < D*Abs[x - y]

Пример:
g[t,x]=Exp[x-(1/2)(∫_0^t)(b^2)[s]ds]; (Subscript[X, t])=(∫_0^t)b[s]d(Subscript[W, s;])

(Subscript[Y, t])=Exp[(∫_0^t)b[s]d(Subscript[W, s])-(1/2)(∫_0^t)(b^2)[s]ds]; (Subscript[Y, t])=1+(∫_0^t)b[s](Subscript[Y, s])d(Subscript[W, s])

(*Литература: Гихман И.И, Скороход А.В.*)

"ϕ<W>"=(∫_0^T)ϕ[t]d(Subscript[W, t]) - когда функция детерминирована

E[(∫_0^T)(Subscript[ϕ, 1])[t]d(Subscript[W, t])(∫_0^T)(Subscript[ϕ, 2])[t]d(Subscript[W, t])]=(∫_0^t)E[(Subscript[ϕ, 1])[t](Subscript[ϕ, 2])[t]]dt=(∫_0^t)(Subscript[ϕ, 1])[t](Subscript[ϕ, 2])[t]dt.

(∫_0^T)ϕ[t]d(Subscript[W, t])=(∑_(k=1)^∞)(Subscript[C, k])(∫_0^T)(Subscript[α, k])[t]d(Subscript[W, t])==(∑_(k=1)^∞)(Subscript[C, k])(Subscript[ξ, k])

(∑_(k=1)^∞)((Subscript[C, k])^2)==(((Subscript[Norm, (Subscript[L, 2])[0,T]])[ϕ[t]])^2)<∞; (Subscript[ξ, k])-(независимые?) нормально распределённые случайные величины с МО 0 и Д 1.

Пусть есть функция n переменных, симметричная (можно переставлять аргументы): g[(Subscript[t, 1]),…,(Subscript[t, n])]; ((Norm[g])^2)=(∫_(([0,T])^n))(((g[(Subscript[x, 1]),…,(Subscript[x, n])]))^2)dx < ∞

Рассмотрим область (Subscript[s, n])={{(Subscript[x, 1]),…,(Subscript[x, n])}:0≤(Subscript[x, 1])≤…≤(Subscript[x, n])≤T} - (1/(n!))часть куба.

(((Subscript[Norm, (Subscript[L, 2])[(([0,T])^n)]])[g])^2)=n!(∫_(Subscript[S, n]))(g[(Subscript[x, 1]),…,(Subscript[x, n])]d(Subscript[x, 1])…d(Subscript[x, n])

Симметризация f: (OverTilde[f])[(Subscript[x, 1]),…,(Subscript[x, n])]=(1/(n!))(∑_σ)f[(Subscript[x, (Subscript[σ, 1])]),(Subscript[…x, (Subscript[σ, n])])]

(Subscript[J, n])[f]=(∫_0^T)(∫_0^(Subscript[t, n]))…(((∫_0^(Subscript[t, 3]))(((∫_0^(Subscript[t, 2]))f[(Subscript[t, 1]),…,(Subscript[t, n])]d(Subscript[W, (Subscript[t, 1])]))/((*оно адаптировано для (Subscript[t, 2])*)))d(Subscript[W, (Subscript[t, 2])]))/((*оно адаптировано для (Subscript[t, 3])*)))…d(Subscript[W, (Subscript[t, n])])

E[(((Subscript[J, n])[f])^2)]==(*рассмотрим все эти кратные интегралы, кроме самого внешнего, как одину функцию; применим формулу Ито*)==E[(∫_0^T)((((∫_0^(Subscript[t, n]))…(∫_0^(Subscript[t, 3]))(∫_0^(Subscript[t, 2]))f[(Subscript[t, 1]),…,(Subscript[t, n])]d(Subscript[W, (Subscript[t, 1])])d(Subscript[W, (Subscript[t, 2])])…d(Subscript[W, (Subscript[t, n-1])])))^2)dt]==(∫_0^T)E[((((∫_0^(Subscript[t, n]))…(∫_0^(Subscript[t, 3]))(∫_0^(Subscript[t, 2]))f[(Subscript[t, 1]),…,(Subscript[t, n])]d(Subscript[W, (Subscript[t, 1])])d(Subscript[W, (Subscript[t, 2])])…d(Subscript[W, (Subscript[t, n-1])])))^2)]dt==…==(∫_0^T)(∫_0^(Subscript[t, n]))…(∫_0^(Subscript[t, 3]))(∫_0^(Subscript[t, 2]))((f[(Subscript[t, 1]),…,(Subscript[t, n])])^2)d(Subscript[t, 1])…d(Subscript[t, n])==(((Subscript[Norm, (Subscript[L, 2])[(Subscript[S, n])]])[f])^2)

E[(Subscript[J, n])[f](Subscript[J, n])[g]]==(Subscript[(f,g), (L^2)[(([0,T])^n)]])

E[(Subscript[J, n])[f](Subscript[J, m])[g]]==(*где-то интегралы закончатся, пусть m>n, останется m-n интегралов второй фунекции, а это матожидание равно нулю*)==0

(Subscript[I, n])[f]=n! (Subscript[J, n])[f];

(∫_0^T)(∫_0^T)f[(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2])]d(Subscript[W, (Subscript[t, 1])])d(Subscript[W, (Subscript[t, 2])])=∑∑f[(Subscript[t, i]),(Subscript[s, k])](Subscript[ΔW, i])(Subscript[ΔW, k]); диагональные элементы в ноль не уходят при уточнении разбиения. Обычно требуют чтобы диагональные элементы не влияли.

Если распадается на произведение:n!(∫_0^T)(∫_0^(Subscript[t, n]))…(∫_0^(Subscript[t, 3]))(∫_0^(Subscript[t, 2]))g[(Subscript[t, 1])]g[(Subscript[t, 2])]… g[(Subscript[t, n])]d(Subscript[W, (Subscript[t, 1])])d(Subscript[W, (Subscript[t, 2])])…d(Subscript[W, (Subscript[t, n])])==(((Subscript[Norm, (L^2)[(([0,T])^n)]])[g])^n)((Subscript[H, n])/((*многочлен Эрмита*)))[(((∫_0^T)g[t]d(Subscript[W, t]))/((Subscript[Norm, (Subscript[L, 2])[0,T]])[g]))].........(1/(Sqrt[2π σ])).........

Например, (Subscript[H, 2])[x]=(x^2)-1; (Subscript[H, 2])[(∫_0^T)g[t]d(Subscript[W, t])]=(∫_0^T)g[t]d(Subscript[W, t])*(∫_0^T)g[t]d(Subscript[W, t])-1==(*вычтем диагональ*)(∫_0^T)(∫_0^T)g[t]g[t]d(Subscript[W, t])d(Subscript[W, t])-(((∫_0^T)((g[t])^2)((((d(Subscript[W, t])))^2)/(==dt)))/(==1))==2(∫_0^T)(∫_0^t)g[t]g[s]d(Subscript[W, s])d(Subscript[W, t])==(Subscript[I, 2])[g*g]; (*а не (Subscript[I, 2])[g*g]-1*)

(*эта теория не подходит, когда есть граничное условие на правом конце (так как получается зависимость от будущего*)

..........................
..............................
Разложение в кратные стохастические интегралы
случайную величину можно предсатвить как интеграл от детерменированной функции
ϕ[ω]=(∑_(n=0)^∞)(((Subscript[I, n])[(Subscript[f, n])])/((*хаос n-го порядка *)))
................................
...................................

Интеграл Скорохода

Напомним: 
(Subscript[X, t])=(Subscript[X, 0])+(∫_0^t)a[s,(Subscript[X, s])]ds+(∫_0^t)b[s,(Subscript[X, s])]d(Subscript[W, s])
b адаптирована к виннеровскому процессу - не зависит от будущего времени
Решение: (Subscript[X, t])[ω]=(Subscript[ψ, t])[(Subscript[w, ...])] - решение зависит от случайного процесса

Теперь рассмотрим случай, когда функция b не адаптирована (например, есть конечное условие)

Интеграл Скорохода - расширение интеграла Ито на упреждающие процессы

(определяется через кратные интегралы Ито)
Пусть задана случайная функцияu[t,ω]; E[(u^2)[t,ω]]<∞ ∀ t ∈ [0,T]

u[t,ω]=(∑_(n=0)^∞)(Subscript[I, n,t])[(Subscript[f, n])[·]] (* 1 *) - разложение в кратный интеграл

(Subscript[f, n,t])=(Subscript[f, n,t])[(Subscript[t, 1]),…,(Subscript[t, n])] (*симметрична по (Subscript[t, 1,])…,(Subscript[t, n])*)=f[(Subscript[t, 1]),…,(Subscript[t, n]),t];

Симметризируем чтобы было по всем аргументам:
(Subscript[(OverTilde[f]), n])[(Subscript[t, 1]),…,(Subscript[t, n]),(Subscript[t, n+1])]=(1/(n+1))((Subscript[f, n])[(Subscript[t, 1]),…,(Subscript[t, n]),(Subscript[t, n+1])])+…)

Тогда интеграл Скорохода от этой функции6:
(Subscript[δ, n])[u]=(∫_0^T)u[t,ω]δ (Subscript[W, t])::=(∑_(n=0)^∞)(Subscript[I, n+1])[(Subscript[(OverTilde[f]), n])] (*определяется через кратный интеграл*)

E[(((δ[u]))^2)]<∞

Пример: (∫_0^T)(Subscript[W, T])[ω]δ (Subscript[W, t])[ω]; (Subscript[f, t])[ω]=(Subscript[W, T])[ω] - функция - это значение самого процесса в конце.
Казалось бы, от t не зависит. Но это не так и (Subscript[W, T])[ω] вынести нельзя.

u[t,W]=(Subscript[W, T])[W]=(∫_0^T)1*d(Subscript[W, t])

(Subscript[f, 0])=0; (Subscript[f, 1])=1; (Subscript[f, n])=0 ∀n>1

δ[u]=(Subscript[I, 2])[(Subscript[(OverTilde[f]), 1])]=(Subscript[I, 2])[1]=2(∫_0^T)((∫_0^(Subscript[t, 2]))1*d(Subscript[W, (Subscript[t, 1])]))d(Subscript[W, (Subscript[t, 2])])=2(∫_0^T)(Subscript[W, (Subscript[t, 2])])d(Subscript[W, (Subscript[t, 2])])=2*(((((Subscript[w, T])^2)-T)/2))=((Subscript[W, t])^2)-T

Итого:  (∫_0^T)(Subscript[W, T])[ω]δ (Subscript[W, t])[ω] == ((Subscript[W, T])^2)-T

Ещё пример: путь функция детерминирована:u[t,ω]=a[t];
(Subscript[f, o])[t]=a[t];(Subscript[f, ≥1])[·,t]==0;
(∫_0^T)a[t]δ (Subscript[W, t])==(∫_0^(T ))a[t]d(Subscript[W, t]),в частности (∫_0^T)δ (Subscript[W, t])==(∫_0^(T ))d(Subscript[W, t]).

Ещё если функция адаптирована, то тоже совапдает: (∫_0^T)u[t,ω]δ (Subscript[W, t])==(∫_0^(T ))u[t,ω]d(Subscript[W, t]),

Как узнать адаптирована ли? Для этого есть следующий результат:
u[t,ω]=(∑_(n=0)^∞)(Subscript[I, n])[(Subscript[f, n])[·,t]] (* 1 *)

Функция u адаптирована если ((Subscript[f, n])[(Subscript[t, 1]),…,(Subscript[t, n]),t]==0 ,если t<Max[(Subscript[t, {1..n}])])

Другое определение интеграла Скорохода, не связанное с определением интеграла Ито.

F[ω]∈(Subscript[L, 2])[Ω,P] (* note: нельзя даже писать F[ω+Δω] *)

Пусть F[ω] может быть разложена в (∑_(n=0)^∞)(Subscript[I, n])[(Subscript[f, n])]

(Subscript[D, t])((Subscript[I, n])[f])=n (Subscript[I, n-1])[(Subscript[f, n])[·,t]]

D F=(∑_(n=0)^∞)n (Subscript[I, n-1])[(Subscript[f, n])[·,t]]

F[ω]=g[(Subscript[W, (Subscript[t, 1])]),…,(Subscript[W, (Subscript[t, n])])]; (Subscript[D, t])F=(∑_(i=1)^m)(∂_(Subscript[x, i]))g[(Subscript[W, (Subscript[t, 1])]),…,(Subscript[W, (Subscript[t, n])])] (Subscript[1, [0,(Subscript[t, i])]])[t]

F[ω]=g[(Subscript[h, 1])⟨W⟩,…,(Subscript[h, n])⟨W⟩]; (Subscript[h, i])⟨W⟩=(∫_0^T)(Subscript[h, i])[t]d(Subscript[W, t]); (Subscript[h, i])[t]=(Subscript[1, [0,τ]])[t]

Интегрирование по частям: ∫f'gd=fg|-∫g'fd;
E[(∫_0^T)((Subscript[D, t])F)g[t]dt ϕ]=E[F ϕ (∫_0^T)g[t]d(Subscript[W, t])]-E[F*(∫_0^T)((Subscript[D, t])ϕ g)[t]dt]

Теперь про связь D с интегралом Скорохода:
E[F ((δ[u])/(== (∫_0^T)(Subscript[u, t])δ (Subscript[W, t])))]=E[(∫_0^T)((Subscript[D, t])F)(Subscript[u, t])dt]

Интеграл Скорохода - сопряжённый оператор к оператору D (только в разных пространствах)